
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% Use utf-8 encoding for foreign characters
\usepackage[utf8]{inputenc}

%Babel
\usepackage[american, russian]{babel}


% \usepackage{hyperref}

% For fullpage
\usepackage{fullpage}

\usepackage{wrapfig}

% Uncomment some of the following if you use the features
%
% Running Headers and footers
%\usepackage{fancyhdr}

% Multipart figures
%\usepackage{subfigure}

% More symbols
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}

%Theorem
\usepackage{amsthm}

% Surround parts of graphics with box
%\usepackage{boxedminipage}

% Package for including code in the document
%\usepackage{listings}

%Add indented line
\usepackage{indentfirst}

% If you want to generate a toc for each chapter (use with book)
%\usepackage{minitoc}

%For color text
\usepackage{color}


% This is now the recommended way for checking for PDFLaTeX:
\usepackage{ifpdf}


%\newif\ifpdf
%\ifx\pdfoutput\undefined
%\pdffalse % we are not running PDFLaTeX
%\else
%\pdfoutput=1 % we are running PDFLaTeX
%\pdftrue
%\fi



\ifpdf
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\else
\usepackage{graphicx}
\fi


\begin{document}
	\ifpdf
	\DeclareGraphicsExtensions{.pdf, .jpg, .tif}
	\else
	\DeclareGraphicsExtensions{.eps, .pdf, .jpg}
	\fi
	
\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Четвертый тур. Лига А}

\medskip

1. На плоскости нарисованы два различных правильных $1997$-угольника с общей вершиной. С помощью одной линейки постройте точки пересечения их описанных окружностей.

2. Пусть $F$ --- семейство конечных подмножеств множества натуральных чисел, такое, что любые два множества из этого семейства имеют непустое пересечение. Верно ли, что обязательно найдется такое конечное множество $Y$, чтобы для любых двух множеств $A$ и $B$ из семейства $F$ пересечение трех множеств $A$, $B$ и $Y$ было бы непусто?

3. Пусть $x, y, z > 0$ и $x^2+y^2+z^2=1$. Найдите наименьшее значение выражения 
$$\frac{1}{xy+z}+\frac{1}{yz+x}+\frac{1}{zx+y}.$$

4. Найдите минимальную площадь лежащего на координатной плоскости выпуклого многоугольника, дающего в проекциях как на оси координат, так и на прямую $x=y$ --- отрезки единичной длины. \textit{(В. А. Тиморин)}

5. Дан отрезок длины $3d+a$ и два конечных набора положительных чисел --- <<черный>> и <<белый>>, сумма всех чисел одного из них равна $2d$, а другого --- равна $2d+a$ ($a\geqslant0$). Докажите, что можно так разместить на данном отрезке черные и белые интервалы, длины которых соответственно равны числам из данных наборов, чтобы никакие два интервала одного цвета не пересекались, а любые два интервала разных цветов либо не имели общих точек, либо один из них содержался в другом.

6. Барон Мюнхгаузен рассказывал, как его друг Эйлер, разрезав некий картонный выпуклый многогранник по ребрам на отдельные грани, прислал их ему. Одна грань при пересылке потерялась, но барон сумел из всех оставшихся граней склеить новый выпуклый многогранник большего объема, чем исходный. Может ли рассказ барона быть правдой? \textit{(А. В. Шаповалов)}

7. Пусть $P(x,y)$ --- многочлен от двух переменных с действительными коэффициентами, причем для любых действительных $x$ и $y$ $P(x,y)=P(y,x)$. Известно, что многочлен $x-y$ является делителем многочлена $P(x,y)$. Докажите, что многочлен $(x-y)^2$ также является делителем многочлена $P(x,y)$.

8. Есть два сосуда емкостью $3$ и $5$ литров без делений, два крана --- с горячей и холодной водой и раковина для слива воды. Задана промежуточная температура. Докажите, что можно отмерить один литр воды с температурой, которая отличается от заданной не более, чем на $0,1$ градуса. \textit{(А. В. Шаповалов)}

9. Пусть $a$ и $b$ --- целые числа, не являющиеся полными квадратами. Докажите, что если уравнение $x^2-ay^2-bz^2+abt^2=0$ имеет ненулевое целочисленное решение, то таким же свойством обладает и уравнение $x^2-ay^2-bz^2=0$.

10. Верно ли, что множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению $z=x^3+Ax^2y+By3+Cxy^2+Dx^2+Exy+Fy^2+Gx+Hy+P$, всегда имеет центр симметрии?

\newpage

\begin{center}
	{\it Первый математический турнир <<Кубок имени А. Н. Колмогорова>>} 
\end{center}

\centerline{\it Белорецк, 20 -- 26 сентября 1997 года}

\centerline{\bf Четвертый тур. Лига В}

\medskip
1. На плоскости нарисованы два различных правильных пятиугольника с общей вершиной. С помощью одной линейки постройте точки пересечения их описанных окружностей.

2. Обозначим через $d(n)$ разность между суммой четных и суммой нечетных цифр десятичной записи натурального числа $n$ (если соответствующих цифр в десятичной записи числа нет, то их сумма считается равной нулю). Например, $d(1024) = 5$, $d(1997) = -26$. Найдите сумму $d(1) + d(2) + d(3) + ... + d(1996) + d(1997)$. \textit{(Р. Г. Женодаров)}

3. Можно ли так расставить по кругу $50$ натуральных чисел, чтобы, если между каждыми двумя соседними из них вписать их сумму, то по кругу были бы выписаны все натуральные числа от $1$ до $100$?

4. Найдите максимальную площадь лежащего на координатной плоскости выпуклого многоугольника, дающего в проекциях как на оси координат, так и на прямую $y=x$ отрезки единичной длины. \textit{(В. А. Тиморин)}

5. На острове живут $1001$ человек: рыцари, которые всегда говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Проводится социальный опрос --- жители острова нумеруются, и $n$-му человеку ($1\leqslant n \leqslant 1001$) задается один вопрос: <<Верно ли, что на острове живут не менее $n$ лжецов?>> Какое максимальное количество положительных ответов можно получить на эти $1001$ вопрос?

6. Верно ли, что для любых различных чисел $a$ и $b$ найдутся такие целые числа $m$ и $n$, что $am + bn > 0$, $an + bm < 0$?

7. У треугольника на плоскости разрешается передвинуть любую вершину так, чтобы площадь треугольника в результате этого не изменилась. Всегда ли можно такими действиями передвинуть один заданный треугольник на место другого заданного треугольника той же площади?

8. Действительные числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ таковы, что $x_1x_2+ x_3x_4 = x_1x_3 + x_2x_4 = x_1x_4 + x_2x_3$. Сколько различных значений могут принимать попарные суммы этих четырех чисел?

9. Есть два сосуда емкостью $1$ и $2$ литра (без делений), два крана --- с горячей и холодной водой и раковина для слива воды. Задана промежуточная температура. Докажите, что можно отмерить один литр воды с температурой, которая отличается от заданной не более, чем на $0,5$ градуса. \textit{(А. В. Шаповалов)}

10. Прямоугольник разбит на части, как показано на рисунке, и из всех этих частей сложили квадрат. Найдите периметр этого квадрата.

\includegraphics{kolm1fig-3}


\end{document}
